Question

已知函数f(x)对任意实数x,y属于R,总有f(x+y)=f(x)+f(y)

已知函数f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(-1)=2
（1）求证：f（-x）=-f（x）
（2）求证：f（x）为减函数
（3）求函数f（x）在区间【-3，3】上的最大值和最小值.

Answer 1

（1）令x=y=0，则f(0)=0；令y=-x，则f(-x)=-f(x).
（2）设x1>x2>0,则x1-x2>0,f(x1-x2)<0即f(x1)+f(-x2)<0,亦即f(x1)<f(x2).所以f(x)在区间：x>0上递减，再由奇函数的性质以及f(x)为奇函数可知，
f(x)为减函数。
（3）始终记住奇函数图形关于原点对称。由递减性，最大值和最小值分别为:
f(-3),f(3).且f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-3f(-1)=-6,f(-3)=-f(3)=6
所以，最大值、最小值分别为6和-6

Answer 2

1）令x=y=0，则f(0)=0；令y=-x，则f(-x)=-f(x).
（2）设x1>x2>0,则x1-x2>0,f(x1-x2)<0即f(x1)+f(-x2)<0,亦即f(x1)<f(x2).所以f(x)在区间：x>0上递减，再由奇函数的性质以及f(x)为奇函数可知，
f(x)为减函数。
（3）始终记住奇函数图形关于原点对称。由递减性，最大值和最小值分别为:
f(-3),f(3).且f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-3f(-1)=-6,f(-3)=-f(3)=6
所以，f(x)max、f(x)min分别为6和-6

Answer 3

111

Answer 4

2