Question

初一奥数题

1、已知实数x、y满足2x²-4xy+4y²-6x+9=0，则根号18xy的平方根是多少？
2、已知（x-10)(x-a)+1是一个完全平方式，则a的值是多少？
3、△ABC的三边长a、b、c满足b+c=8，bc=a²-12a+52，则△ABC的周长是多少？
4、已知50个数x₁，x₂，x₃ ......x50 从0，-1，1中取值，若x₁+x₂+x₃+......x50 =9，而且（x₁+1）²+（x₂+1）²+（x₃+1）²+......(x50+1)²=107，则x₁,x₂,x₃......x50中0的个数是多少?

Answer 1

1、已知实数x、y满足2x²-4xy+4y²-6x+9=0，则根号18xy的平方根是多少？
2x²-4xy+4y²-6x+9
=x² - 4xy + 4y² + x² - 6x + 9
= (x - 2y)² + (x - 3)² = 0
根据平方数的非负性质，有：
x - 3 = 0
x - 2y = 0
得x = 3,y = 3/2
则√18XY = √(18*3*3/2) = 9

2、
X² - (10+A)X + 10A + 1是完全平方式，则X² - (10+A)X + 10A + 1 = 0两根相等，判别式等于0，有：
(10+A)² - 4(10A + 1)
= A² + 20A + 100 - 40A - 4
= A² - 20A + 96 = 0
解得A1 = 12 ，A2 = 8

3、
由 a²-12a+52 = (a - 6)² + 16 ≥ 16
由 b + c = 8 推得bc ≤ 16
又因bc = a²-12a+52 得，a²-12a+52 = bc = 16
解得B = C = 4 ,A = 6
周长 = 6 + 4 + 4 = 14

4、
（x₁+1）²+（x₂+1）²+（x₃+1）²+......(x50+1)²
= X1² + X2² + …… + X50² + 2(X1 + X2 + …… + X50) + 1 + 1 + …… + 1
= X1² + X2² + …… + X50² + 2×9 + 50 = 107
得
X1² + X2² + …… + X50² = 107 - 50- 18 = 39
因（±1）² = 1，0² = 0，可知，
X1² + X2² + …… + X50² 中有39个±1，其余为0。
因此0的个数 = 50 - 39 = 11

Answer 2

第一题是9。X=3，Y=1.5

Answer 3

有人回答了第一题我就回答第二题吧
最后化简为a2-20a+96=0
a=12或a=8

Answer 4

第一题是9。X=3，Y=1.5
第二题a=12或a=8