Question

高等数学定积分定义中的一些疑问，求解答？ 定义中小区间长度ΔXi是否就是自变量X在Xi-1处

高等数学定积分定义中的一些疑问，求解答？
定义中小区间长度ΔXi是否就是自变量X在Xi-1处的增量？为什么在定义中ΔXi不写成自变量x的增量？
而乘积f(ξi)ΔXi是否可以理解成f(x)的原函数在Xi-1处的微分？

Answer 1

1、中小区间长度ΔXi：

可以认为是自变量X在Xi-1处的增量，因为, △Xn=Xn-Xn-1。

但这个增量并不一定相等，比如，根据曲线的斜率不同采用的变步长的定积分。

2、之所以定义中“ΔXi不写成自变量x的增量”，是因为ΔXi并不一定是固定值：

习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”是：S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1)，那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值。

2、乘积f(ξi)ΔXi是否可以理解成f(x)的原函数在Xi-1处的微分：

这个不对。乘积和最后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。讲白了，就是一个“底(ΔXi)x高(f(ξi))”，是一个面积值。

Answer 2

1,定义中小区间长度ΔXi 是 自变量Xi-1到Xi的增量
2,ΔXi在积分球面积的时候是表示一个小矩形的边长,它的确是表示增量，只不过是Xi-1到Xi的增量
3，f(ξi)ΔXi是不可以理解为在Xi-1处的微分，对于在Xi-1点可微的充要条件是dy=f`(Xi-1)dx,是导函数不是原函数。还有在Xi-1的微分应该是A△x,而A=lim（△x-0）△y/△x=f`(Xi-1)