Question

求定积分∫x/（1+根号x）dx

Answer 1

求定积分要有上下限的，否则是求不定积分。
对于 x/(1+√x) 可令 y=√x, y²=x, 2ydy=dx
∫x/(1+√x)dx=2∫y³dy/(1+y)
而y³dy/(1+y)
=(y³+1)/(1+y)-1/(1+y)
=(y²-y+1)-1/(1+y)
2∫y³dy/(1+y)
2∫(y²-y+1)dy-2∫1/(1+y)dy
=2[y³/3-y²/2+y-ln(1+y)]+C
再把y代换回x即可，如果是求定积分则不用代换，
y=√x, x从a到b, 则y从√a到√b

Answer 2

令√x=t，则x=t²。
x／(1＋√x)dx=2t³/(1+t)dt
2t³=2(t+1)·(t²-t+1)-2
所以2t³/(1+t)=2(t²-t+1)-2／(t+1)，所以∫2t³/(1+t)dt=2／3t³-t²+2t－ln(|t+1|)。
所以∫x／(1＋√x)dx=2／3x^(3／2)-x+2x^(1／2)－ln(1+x^(1／2))。