Question

初二证明题

如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC中点，DE⊥AB于点E.求证：EB=3EA.

Answer 1

已知AB=AC， D是BC中点，则知AD⊥BC、 ∠BAD=1/2∠BAC=60°.
因ABD、ADE都是直角三角形，且∠BAD=60°，故：AB=2AD、 AD=2AE.
得AB=4AE,→BE+AE=4AE, 所以：BE=3AE.

Answer 2

∵D是BC的中点，∴BD=DC
∵BD=DC、AB=AC、AD=AD，∴△ADB≡△ADC
∵角BAC=120°，△ADB≡△ADC，∴∠BAD=∠DAC=60°，AD⊥BC
∵DE⊥AB，∴∠ADE=30°∴AD=2AE
∵AD⊥BC，∠BAD=60°∴∠B=30°∴AB=2AD
∵AD=2AE，AB=2AD，∴AB=4AE,∴EB=3EA

Answer 3

∵AB=AC D为BC中点
∴AD⊥BC
又∵∠BAC=120度
∴AD=1/2AB ∠BAD=∠CAD=60度
∵DE⊥AB
∴AE=1/2AD=1/4AB
∴BE=3/4AB=3AE

Answer 4

证明：作线段DF‖AC交AB于F，
∵D是BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，∠ADB=90°，
又∵∠BAC=120°，
∴∠ABD=30°，∠BAD=60°，
∵DF‖AC，
∴∠BFD=∠BAC=120°，
∴∠AFD=60°，
又∵∠BAD=60°，
∴∠AFD=∠BAD
∴∠ADF=60°，
∴△AFD是等边三角形，
又∵∠AFD=60°，
∴∠FDB=90°-∠ADF=30°=∠FBD
∴FB=FD，
又∵FD=AF，DE⊥AB，AD=DF，
∴FB=AF，EA=EF=1/2AF=1/4AB ，
∴EB=3EA