Question

分数指数幂运算

已知a的三分之二次方加上b的三分之二次方等于4，x=a+3*a（三分之一次方）*b（三分之二次方），y=b+3*a（三分之二次方）*b（三分之二次方），求（x+y）的三分之二次方+（x-y）的三分之二次方

Answer 1

令m=a三分之一次方
n=b三分之一次方
则m²+n²=4
x=m³+3mn²
y=n³+3m²n

则x+y=m³+3m²n+3mn²+n³=(m+n)³
x-y=m³-3m²n+3mn²-n³=(m-n)³
所以(x+y)的三分之二次方=[(m+n)³]的三分之二次方=(m+n)²
(x-y)的三分之二次方 =(m-n)²

所以原式=(m+n)²+(m-n)²
=m²+2mn+n²+m²-2mn+n²
=2(m²+n²)
=8

Answer 2

打错了吧：y应该为b+3*a（三分之二次方）*b（三分之一次方）

由题知：
a^(2/3) + b^(2/3) = 4
x = a + 3a^(1/3)b^(2/3)
y = b + 3b^(2/3)b^(1/3)
求(x+y)^(2/3) + (x-y)^(2/3)

设a = s^3, b = t^3
则s^2 + t^2 = 4
x = s^3 + 3st^2
y = t^3 + 3s^2t

x + y = (s + t)^3
x - y = (s - t)^3

则(x+y)^(2/3) + (x-y)^(2/3)
= (s + t)^2 + (s - t)^2
= 2(s^2 + t^2)
= 8

Answer 3

由题知：
a^(2/3) + b^(2/3) = 4
x = a + 3a^(1/3)b^(2/3)
y = b + 3b^(2/3)b^(1/3)
求(x+y)^(2/3) + (x-y)^(2/3)

设a = s^3, b = t^3
则s^2 + t^2 = 4
x = s^3 + 3st^2
y = t^3 + 3s^2t

x + y = (s + t)^3
x - y = (s - t)^3

则(x+y)^(2/3) + (x-y)^(2/3)
= (s + t)^2 + (s - t)^2
= 2(s^2 + t^2)
= 8