Question

数学大神快来

三角形ABC中，角B等于九十度，AB等于BC，M是AC中点，点D,E分别在AB,BC上运动，并始终保持BD等于CE，点D，E运动的过程中，三角形DEM的形状是否发生改变？若不改变，它是什么形状的三角形？请证明你的结论

Answer 1

解：△DEM是等腰直角三角形。理由如下：
连接BM
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠C=45°
∵M是AC的中点，BM是中线
∴BM=CM，∠ABM=∠DBM=∠CBM=45°
∴∠DBM=∠C
在△BDM和△CEM中
∵BM=CM，BD=CE，∠DBM=∠C
∴△BDM≌△CEM
∴DM=EM ∠BMD=∠CME
∵∠BME+∠CME=90°
∴∠BME+∠BMD=90°
即∠DME=90°
∴△DEM是等腰直角三角形

Answer 2

在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，M为AC的中点，D，E分别是AB，BC上的动点，且BD＝CE．问△DEM的形状，并给予证明。
解：不失一般性，设AB=BC=1，则AC=√2；若BD=CE=x，则AD=BE=1-x，于是：
DE²=BD²+BE²=x²+(1-x)²=2x²-2x+1..........................................................................(1)
ME²=MC²+CE²-2MC×CEcos45°=(√2/2)²+x²-2(√2/2)x(√2/2)=x²-x+1/2......................(2)
MD²=MA²+AD²-2MA×ADcos45°=(√2/2)²+(1-x)²-2(√2/2)(1-x)(√2/2)=x²-x+1/2...........(3)
由(1)(2)(3)可知;ME=MD，且ME²+MD²=2x²-2x+1=DE²，即不论D，E在AB，BC上如何运动，只要保持BD=CE的条件，△DEM始终是等腰直角三角形。