Question

求f(x)=ln(1+x^2)的带佩亚诺型的n阶麦克劳林公式，并求f(0)的n阶导函数的值。

Answer 1

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-...+(-1)^(n-1)x^n/n+o(x^n)
所以
f(x)=ln(1+x^2)=x^2-x^4/2+x^6/3-...+(-1)^(n-1)x^(2n)/n+o(x^(2n))

第二个问
y=ln(1+x^2)，y'=2x/(1+x^2)
(1+x^2)y'=2x
求n阶导，n大于1（n不等于1）
(1+x^2)y<n+1>(0)+2nxy<n>+n(n-1)y<n-1>=0
令x=0，得
y<n>=-(n-1)(n-2)y<n-2>
y<2>=2，y<3>=0，所以由递推关系
n为偶数时，y<n>=2(-1)^(n/2-1)*n!
n为奇数时，y<n>=0（n从3开始）
又n=1时，y<1>=0

综上所述
n为偶数时，y<n>=2(-1)^(n/2-1)*n!
n为奇数时，y<n>=0