Question

【初中数学】﹙1－1/2²﹚﹙1－1/3²﹚...﹙1－1/2013²﹚

﹙1－1/2²﹚﹙1－1/3²﹚...﹙1－1/2013²﹚
★简便运算，求主要过程及答案

Answer 1

分母=2013*2=4026，分子=1+2013=2014，得数=2014/4026
过程
﹙1－1/2²﹚﹙1－1/3²﹚...﹙1－1/2013²﹚
=3/4*﹙1－1/3²﹚...﹙1－1/2013²﹚
=4/6*﹙1－1/4²﹚...﹙1－1/2013²﹚
=5/8*﹙1－1/5²﹚...﹙1－1/2013²﹚
=6/10*﹙1－1/6²﹚...﹙1－1/2013²﹚
=7/12...
找出规律到第一个小括号得数的分母是2的两倍，分子是2+1
找出规律到第二个小括号得数的分母是3的两倍，分子是3+1
···
找出规律到第2012个小括号得数的分母是2013的两倍，分子是2013+1

Answer 2

用因式分解做：
原式=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)......(1-1/2013^2)(1+1/2013^2)
=(1/2)(3/2)(2/3)(4/3).....(2011/2012)(2013/2012)(2012/2013)(2014/2013)
中间项消除，剩下首尾项
=(1/2)*1*1*1....*1*(2014/2013)
=(1/2)(2014/2013)
=1007/2013

Answer 3

原式=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)(1-1/4)(1+1/4)......(1-1/99)(1+1/99)(1-1/100)(1+1/100)
=(1/2)[(3/2)(2/3)(4/3)(3/4)(5/4).....(98/99)(100/99)(99/100)](101/100)
=(1/2)*1*1*1....*1*(101/100)
=(1/2)(101/100)
=101/200

Answer 4

先由平方差公式得
=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)......(1-1/2013)(1+1/2013)
算出括号的每个数
=(1/2) X (3/2) X( 2/3) X (4/3) X(3/4) X(5/4) X(4/5)x(6/5)x........x (2011/2012)X (2013/2012) (2012/2013)x (2014/2013)
约分得
=（1/2 ）X （2014/2013）
=1007/2013

备注：括号是为了让你看清楚些

Answer 5

=﹛1-（1/2)²﹜·﹛1-（1/3)²﹜·﹛1－﹙1／4﹚²﹜······﹛1－﹙1／n²﹚﹜
=﹙1－1／2﹚·﹙1﹢1／2﹚·﹙1－1／3﹚·﹙1﹢1／3﹚·﹙1－1／4﹚·﹙1﹢1／4﹚······﹙1－1／n﹚·﹙1﹢1／n﹚
=1／2×3／2 ×2／3 ×4／3×3／4×········×﹙n－1﹚／n×﹙n﹢1﹚／n
=1／2×﹙n－1﹚／n
=﹙n－1﹚／2n

Answer 6

原式=[（2²-1）/2²][（3²-1）/3²]......[（2013²-1）/2013²]
=[(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)......(2013-1)(2013+1)]/(2²x3²x...x2013²)

=(1x2x3x...x2014)(3x4x...x2012)/(2x3x...2013)²
=2014/（2x2013）
=1007/2013