Question

若椭圆x^2/m+y^2/n=1(m>n>0)和双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点

求|pF1|*|PF2|的值

Answer 1

我手中的这到题目四个选项都没有m-a² = =

由椭圆、双曲线、以及焦点的几何意义，
椭圆上任一点P到两焦点距离和为2√m，
即PF1+PF2=2√m，
双曲线上任一点到两焦点的距离差的绝对值为2√a，
即|PF1-PF2|=2√a上面两式求平方差即得：4PF1*PF2=4m-4a
所以，PF1*PF2=m-a.

Answer 2

解：由对称性，不妨假设点P在第一象限。∵P是椭圆上的一点，∴由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2√m.又∵点P在双曲线上，∴由双曲线的定义可知，|PF1|-|PF2|=2a.两式平方后相减得|PF1|×|PF2|=m-a².

Answer 3

有共同焦点
c^2=m^2-1=n^2+1
m^2-n^2=2
m^2+n^2=2n^2+2

求交点
x^2=m^2(1-y^2)=n^2(y^2+1)
y^2=(m^2-n^2)/(m^2+n^2)=1/(n^2+1)
所以三角形的高=|y|=1/√(n^2+1)

F1F2=2c=2√(n^2+1)
所以面积=1