Question

函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]属于D，是f(x) 在[a,b]上的值域为[-b,-a]

答案是k的取值范围是k∈[2，4/9） 过程都看了，就是不知道k为什么大于等于2。 求解

Answer 1

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Answer 2

函数f(x)=[√(2－x)]－k的定义域是：(－∞，2]，且在这个定义域内递减的。
函数f(x)在[a，b]上的值域是：[－b，－a]
则：
f(a)=－a、f(b)=－b
得：
[√(2－a)]－k=－a、[√(2－b)]－k=－b
即：
[√(2－a)]＋a=k、[√(2－b)]＋b=k
所以，a、b是方程：[√(2－x)]＋x=k的两个根。
也就是说：方程[√(2－x)]＋x=k在(－∞，2]内有两个不等实根。
设：√(2－x)=t，则：t∈[0，＋∞)，且：x=2－t²，则：
t＋(2－t²)=k
t²－t＋(k－2)=0在区间[0，＋∞)内有两个不等实根。
设：g(t)=t²－t＋(k－2)，则：
①g(0)≥0，得：k≥2（既然是0，那么把0放入式子，就只有k-2了，）
②△=1－4(k－2)>0，得：k<9/4