Question

高一函数数学题

设函数f（x）是定义在R上的函数，对于任意实数x、y恒有f（x+y）=f（x）*f（y），且当x＞0时，恒有0＜f（x）＜1.
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明
（3）若f（a-sinx）≤f（√1+2a-7/4+cos²x）对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。

第三题可以不做

Answer 1

 

 

第三问看到一条差不多的

 

最快完成，望采纳，谢谢

Answer 2

(1)将x=0带入式子，设y>0,则f(0+y)=f(0)*f(y),又f(y)不等于0，所以f(0)=1
取x=-y,则1=f(0)=f(x+y)=f(x)f(y),若x>0,那么y<0,0<f(x)<1,所以f(y)=1/f(x)>1

(2)设y>0,则x+y>x,则f(x+y)=f(x)f(y)<f(x),所以f单调减

Answer 3

设需要时间t才能追上，用3'表示根号3

在正北方向，t时间内缉私船需要航行的距离为：
Y=(3'-1)*sin45 - 2*sin15 + 5*3'*t
(最后一项中5*3'为走私船正北方向的分速度)

在正东方向，t时间内缉私船需要航行的距离为：
X=(3'-1)*sin45 + 2*sin15 + 5*t
(最后一项中5为走私船正东方向的分速度)

Y^2+X^2=10*3'*t
上式右边为缉私船的速度乘以t
上面方程中只有t未知
结之可得所需时间

方向可以根据tan(a)=Y/X计算
其中a为缉私船北偏东的角度

建立坐标系,A为原点,东为X轴正向 北为Y轴正向
向量AC=(-2sin75,2cos75)
向量AB=[(根号6-根号2)/2,(根号6-根号2)/2]
走私船速度向量x=(5,5*根号3)
我方缉私艇速度方向为北平偏东a度
我方缉私艇速度方向向量y=(10*根号3sina,10*根号3cosa)
时间为t
则:向量AC+t*y=(-2sin75+t*10*根号3sina,2cos75+t10*根号3cosa)
向量AB+t*x=[(根号6-根号2)/2+5t,(根号6-根号2)/2+t*5*根号3]
最快追上走私船:向量AC+t*y=AB+t*x
-2sin75+t10*根号3sina=(根号6-根号2)/2+5t
2cos75+t10*根号3cosa=(根号6-根号2)/2+t*5*根号3
整理得10*根号3*tsina+根号2=5t
10*根号3*tcosa=5*根号3*t
解得cosa=1/2 a=60度 t=(根号6+根号2)/2
则缉私艇应沿北平偏东60度方向 ，才能最快追上走私船，
需用(根号6+根号2)/10小时时间.