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要使f(x)=lnx-a/x<x²在(1,+∞)上恒成立
分离变量则a>(lnx-x²)x=xlnx-x³在(1,+∞)上恒成立
设g(x)=xlnx-x³,则g'(x)=1+lnx-3x²
g''(x)=1/x-6x=(-6x²+1)/x在x∈(1,+∞)恒小于0,所以g'(x)在(1,+∞)上单调递减
因为g'(1)=1+0-3=-2<0,所以g'(x)在x∈(1,+∞)恒小于0,g(x)在(1,+∞)上单调递减
所以g(x)=xlnx-x³<g(1)=-1.
因为a>g(x)在(1,+∞)上恒成立,所以a>=-1
分离变量则a>(lnx-x²)x=xlnx-x³在(1,+∞)上恒成立
设g(x)=xlnx-x³,则g'(x)=1+lnx-3x²
g''(x)=1/x-6x=(-6x²+1)/x在x∈(1,+∞)恒小于0,所以g'(x)在(1,+∞)上单调递减
因为g'(1)=1+0-3=-2<0,所以g'(x)在x∈(1,+∞)恒小于0,g(x)在(1,+∞)上单调递减
所以g(x)=xlnx-x³<g(1)=-1.
因为a>g(x)在(1,+∞)上恒成立,所以a>=-1
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