Question

考研高数~~关于三重积分、曲线积分和曲面积分

什么情况下要用极坐标系？什么情况下要用直角坐标系？还有就是曲线积分和曲面积分的对称性什么时候用？什么情况用？给个具体系统的解答

Answer 1

你问的比较笼统
一般来说，是不是要用极坐标要从两个方面去看。
第一，看积分区域
边界曲线在极坐标系下方程的形式比较简单，也就是说转化为极坐标后能方便计算的，比如：
过坐标原点的圆 x^2+y^2=R^2，x^2+y^2=2Rx，x^2+y^2=2Ry；
或者本来就是极坐标系的典型曲线转化过来，比如
双纽线 (x^2+y^2)^2=(a^2)(x^2-y^2)，(x^2+y^2)^2=(a^2)xy，
心形线 (x^2-ax+y^2)^2=(a^2)(x^2+y^2)。
这些用极坐标就比较适合。

第二，看被积函数
被积函数含有函数因子（或中间变量）： x^2+y^2，y/x，xy，……等。
如果被积函数的形式是类似于x^2+y^2或其他类似的形式，转换成极坐标都比较方便。

如果不是以上情况的，除去一些利用对称性，奇偶性等特殊做法，都用直角坐标。

第2个问题你问的更笼统，汗~其实这个你多做题应该是能感觉到的，因为具体的题目有具体的要求，我大概总结出这么几点：
1.计算的时候化简，有些题是给你的被积函数一个分式的形式，你通过拆分后，其中一个分式可以利用奇函数对称性直接得到结果为0，使计算化简。
2.选择题直接要求：可能是判断积分大小，或者是利用对称性判断对错等，花样很多但万变不离其宗，多看看真题里的形式。
3.证明题：可以利用对称性变换积分的形式，使之满足证明题的某些需求。

总结出一点就是：如果考题中的某道积分能够利用到对称性的，不管三七二十一一定要用，绝对是你完成下一步的前提。