Question

已知定义域为R的函数f(x+y)=f(x)*f(y)

已知定义域为R的函数f(x+y)=f(x)*f(y)
其中x,y为任意实数，且当x≠y时都有f (x 不等于f(y)
（1）求f(0)的值，并写出一个符合条件的函数
（2）如果x>0时，有0<f(x)<1 证：
①x<0 时 f(x)>1
②f（x）在R上是减函数

Answer 1

解：（1）取y=0,于是f(x)=f(x)*f(0)，对任意的x属于R，我们知道f(0)=1
可以取这样的f(x)=e^x,顺便可以验证一下正确性，f(0)=1
(2) ①当x<0时，有-x>0,取y=-x,于是f(x-x)=f(0)=f(-x)f(x)=1
而由题意知，0<f(-x)<1,于是f(x)>1
所以当x<0时，f(x)>1
②设y=1,x>0当x+1>x,f(x+1)=f(x)*f(1)(f(x+1)>0,f(x)>0)
得到f(x+1)/f(x)=f(1)<1,即f(x+1)<f(x),f(x)在x>0上是减函数
设y=-1,x<0当x-1<x,f(x-1)=f(x)*f(-1)(f(x-1)>1,f(x)>1)
得到f(x-1)/f(x)=f(-1)>1,即f(x-1)>f(x),f(x)在x<0上是减函数
综合知道f(x)在R上是减函数

Answer 2

这题有的解吗 ？