Question

高中数学向量问题 10题 14题 求高手解答 谢谢了

Answer 1

1. |BC|=a，|AC|=b，|AB|=c
   aOA+bOB+cOC
   =aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA)
   =(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)
   设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|
   又由角平分线定理，|DB|/|DC|=c/b，所以bDB+cDC=0
   (a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)OA- b DA- c DA =aOA+(b+c)OD
   又因为OA、OD反向，用角平分线定理和合比定理：
   b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a, b/CD=OA/OD,
   所以OA/OD=(b+c)/a , 又因为OA、OD反向，
   故aOA+bOB+cOC=aOA+(b+c)OD =0.
   △ABC内心为O，a•OA(向量下同)+b•OB+c•OC=0
   化简AO=x •AB+y •AC得：（1-x-y）OA+x•OB+y•OC=0
   由题意得：（1-x-y）:x:y=6:4:8
   令x=4k,y=8k,1-x-y=6k,解得：k=1/18,可得x+y=2/3
   故选B

2. 以D点作为原点建立坐标系
   A(0,2),B(2,2),C(2,0),D(0,0),N(2,1)
   设M(x，y) x,y∈[0,2]
   AN=(2,-1),AM=(x,y-2)
   AN*AM=2x-y+2
   当x最大，y最小时AN*AM最大
   所以此时x=2,y=0，取到最大值
   AN*AM=6
   

Answer 2

10、证明：设三角形ABC，AD为BC边上的角平分线，内心为O。
|BC|=a，|AC|=b，|AB|=c
aOA+bOB+cOC
=aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA)
=(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)
设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|
又由角平分线定理，|DB|/|DC|=c/b，所以bDB+cDC=0
(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)OA- b DA- c DA =aOA+(b+c)OD
又因为OA、OD反向，用角平分线定理和合比定理：
b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a, b/CD=OA/OD,
所以OA/OD=(b+c)/a , 又因为OA、OD反向，
故aOA+bOB+cOC=aOA+(b+c)OD =0.
△ABC内心为O，a•OA(向量下同)+b•OB+c•OC=0
化简AO=x •AB+y •AC得：（1-x-y）OA+x•OB+y•OC=0
由题意得：（1-x-y）:x:y=6:4:8
令x=4k,y=8k,1-x-y=6k,解得：k=1/18,可得x+y=2/3
故选B