Question

定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),已知f(x+1)是偶函数,(x-1)f'(x)<0,

若x1<x2,且x1+x2>2,则f(x1)与f(x2)的大小关系

Answer 1

已知f(x+1)是偶函数
得f（x）关于直线x=1对称
（x-1）f'（x）＜0，得当x＞1时f'（x）＜0，f（x）单调减
当x＜1时f'（x）＞x，f（x）单调增，于是有若|a-1|＞|b-1|则f（a）＜f（b）【常用，数形结合的结论】【语言表达为：距离对称轴越远，函数值越小】
x1+x2＞2，即x2-1＞1-x1，若x1＞1，则|x2-1|=x2-1，|x1-1|=x1-1，
因为x2＞x1，所以x2-1＞x1-1，得|x2-1|＞|x1-1|于是f（x1）＞f（x2）
若x1＜1，则|x2-1|=x2-1，|x1-1|=1-x1
|x2-1|-|x1-1|=x2+x1-2＞0，于是|x2-1|＞|x1-1|于是f（x1）＞f（x2）
综上得f（x1）＞f（x2）