Question

函数f(x)=根号下((x+3)^2+1）+根号下（(x-5)^2+4）的值域为

为什么前面根号下的+16变为(0-4)^2而后面的4变为(0- -2)^2

Answer 1

以下用两个方法解答：

(1)数形结合法
f(x)＝√[(x+3)^2+16]+√[(x-5)^2+4]
＝√[(x-(-3))^2+(0-4)^2]+√[(x-5)^2+(0-2)^2].
可见, f(x)的最小值(下界),可看成
X轴上求一点M(x,0), 使它到定点A(-3,4)、B(5,2)的距离之和最小.
点B关于X轴的对称点为B'(5,-2).
f(x)的最小值即为|B'A|,
∴f(x)|min＝|B'A|＝√[(5+3)^2+(-2-4)^2]＝10.
B'A方程为(y+2)/(x-5)＝(-2-4)/(5+3)→3x+4y-7＝0.
令y＝0，得x＝7/3.故点M为(7/3,0).
显然，f(x)定义域为R，f(x)无上界.
故函数值域为：[10,+∞).

(2)构造向量(或构造复数)法
相对于数形结合法，构造法简洁得多！
设m＝(x+3,4),n＝(5-x,2),则m+n＝(8,6).
依向量模不等式|m|+|n|≥|m+n|,
∴f(x)≥√(8^2+6^2)＝10.
显然，f(x)定义域为R，即f(x)无上界.
故函数值域为：[10, +∞)。