Question

已知f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1。 （1）求证：f(8)=3.

已知f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1。
（1）求证：f(8)=3. （2）解不等式：f(x)-f(x-2)>3

Answer 1

(1)
f(2×2) = f(2) + f(2)
f(4) = 2f(2) = 2
f(4×2) = f(4) + f(2)
f(8) = 2 + 1 = 3

(2)
f(x) - f(x - 2) > 3
因为 定义在（0，+∞）
所以 x > 0 , x- 2 > 0
所以 x > 2

f(x) - f(x - 2) > 3
f(x) > f(x - 2) + 3
f(x) > f(x - 2) + f(8)
f(x) > f(8x - 16)
因为 f(x)是增函数
所以 x > 8x - 16
所以 x < 16/7

综上： 2 < x < 16/7

Answer 2

1.
令x=y=2
代入 f(xy)=f(x)+f(y)
得 f(4)=f(2)+f(2)=2

令x=2 y=4
代入 f(xy)=f(x)+f(y)
得 f(8)=f(2)+f(4)=3

2.
f(x)-f(x-2)>3
f(x)-f(x-2)>f(8)
f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)

因为 f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数
所以 x>8x-16

再根据定义域
x-2>0

解得 2<x<16/7

Answer 3

1.f(8)=f(4)+f(2)=3f(2)=3

Answer 4

3换为f(x)，叠代‘归纳法