Question

微积分应用，第12题的（1）（2），赏金50，恳求大家帮帮忙，拜托拜托。

Answer 1

让我试试

追答

在平面直角坐标系中初略的画一下图可知，在0<=t<=π时，y单调增，最大值取2（当t=π时），在π<=t<=2π时，y单调递减。
因此旋轮线绕y轴旋转的体积可以转化为求两个旋转体的体积之间的差

第一个旋转体是旋轮线π<=t<=2π的部分绕y轴旋转的体积，表示为V1.
第二个旋转体是旋轮线0<=t<=π的部分绕y轴旋转的体积，表示为V2。
旋轮线绕y轴旋转的体积V=V1-V2

V1=∫πx^2dy,积分下上限区间是0和2
然后把参数方程x=a(t-sint)和y=(1-cost),dy=sintdt代入上式
得:V1=∫π[a(t-sint)]^2*sintdt，积分下上限区间是2π和π
求解V1要把被积函数平方部分展开，用到分步积分、降次、变量代换等等，最后得到V1=13/2*π^2-5/3
同理可得V2=1/2*π^2-4

所以旋轮线绕y轴旋转的体积V=V1-V2=6π^2-7/3

在平面直角坐标系中初略的画一下图可知，在0<=t<=π时，y单调增，最大值取2（当t=π时），在π<=t<=2π时，y单调递减。
因此旋轮线绕y轴旋转的体积可以转化为求两个旋转体的体积之间的差

第一个旋转体是旋轮线π<=t<=2π的部分绕y轴旋转的体积，表示为V1.
第二个旋转体是旋轮线0<=t<=π的部分绕y轴旋转的体积，表示为V2。
旋轮线绕y轴旋转的体积V=V1-V2

V1=∫πx^2dy,积分下上限区间是0和2
然后把参数方程x=a(t-sint)和y=(1-cost),dy=sintdt代入上式
得:V1=∫π[a(t-sint)]^2*sintdt，积分下上限区间是2π和π
求解V1要把被积函数平方部分展开，用到分步积分、降次、变量代换等等，最后得到V1=13/2*π^2-5/3
同理可得V2=1/2*π^2-4
所以旋轮线绕y轴旋转的体积V=V1-V2=6π^2-7/3

这个是绕y轴的在平面直角坐标系中初略的画一下图可知，在0<=t<=π时，y单调增，最大值取2（当t=π时），在π<=t<=2π时，y单调递减。
因此旋轮线绕y轴旋转的体积可以转化为求两个旋转体的体积之间的差
第一个旋转体是旋轮线π<=t<=2π的部分绕y轴旋转的体积，表示为V1.
第二个旋转体是旋轮线0<=t<=π的部分绕y轴旋转的体积，表示为V2。
旋轮线绕y轴旋转的体积V=V1-V2
V1=∫πx^2dy,积分下上限区间是0和2
然后把参数方程x=a(t-sint)和y=(1-cost),dy=sintdt代入上式
得:V1=∫π[a(t-sint)]^2*sintdt，积分下上限区间是2π和π
求解V1要把被积函数平方部分展开，用到分步积分、降次、变量代换等等，最后得到V1=13/2*π^2-5/3
同理可得V2=1/2*π^2-4
所以旋轮线绕y轴旋转的体积V=V1-V2=6π^2-7/3

然后是x轴解：所求体积=∫π[a(1-cosθ)] *a(1-cosθ)dθ
=πa ∫(1-cosθ) dθ
=πa ∫(1-3cosθ+3cos θ-cos θ)dθ
=πa ∫[5/2-3cosθ+(3/2)cos(2θ)-(1-sin θ)cosθ]dθ
=πa [5θ/2-3sinθ+(3/4)sin(2θ)-sinθ+sin θ/3]│
=πa [(5/2)(2π)]
=5π a

追问

你能把旋轮线的一拱画出来让我看看吗？最后化简的答案是多少？为了证明诚意，先把分给你。

追答

多谢你的诚意

Answer 2

x=a*(t-sin(t))    y=a*(1-cos(t))  0<=t<=2π

(1)V(x)=πa^3∫[0,2π](1-cos(t))^3dt

          =5*π^2*a^3

(2)V(y)=πa^3∫[0,π](2π-t-sin(2π-t)) ^2sintdt-πa^3∫[0,π](t-sin(t)) ^2sintdt

          =6π^3a^3