Question

已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，CG是⊙O的切线交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，CG是⊙O的切线交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）试问：CG ∥ AD吗？说明理由；（2）证明：点E为OB的中点．

Answer 1

（1）CG ∥ AD，理由如下： ∵CG是⊙O的切线，OC是⊙O的半径， ∴CG⊥CF； 又∵CF⊥AD， ∴CG ∥ AD（同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行）； （2）证法一： 证明：如图（1），连接AC， ∵CF⊥AD，AE⊥CD， 且CF、AE过圆心O， AC = AD ， CD = AC ， ∴AC=AD=CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠D=60°， ∴∠FCD=30°；                   在Rt△COE中，OE= 1 2 OC， ∴OE= 1 2 OB， ∴点E为OB的中点； 证法二： 证明：如图（2），连接BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°； 又∠AFO=90°， ∴∠ADB=∠AFO，∴CF ∥ BD， ∵△BDE ∽ △OCE， ∴ BE OE = ED CE ， ∵AE⊥CD，且AE过圆心O， ∴ED=CE， ∴ BE OE = ED CE =1，即BE=OE， ∴点E为OB的中点．