Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．（1）在图中作出

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．（1）在图中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）若AC=3，tanB= 3 4 ，求⊙O的半径长．

Answer 1

（1）如图，（2分） （2）证明：连接OD． ∵OA=OD， ∴∠1=∠2， ∵∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD ∥ AC．（3分） 又∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，（5分） ∴BC是⊙O的切线；（6分） （3）在Rt△ABC中，AC=3，tanB= 3 4 ． ∴BC=4， ∴AB= 3 2 + 4 2 =5，（7分） ∵OD ∥ AC， ∴△OBD ∽ △ABC，（8分） 所以 OB AB = OD AC ， 5-OA 5 = OA 3 ， ∴OA=OD= 15 8 ， ∴⊙的半径为 15 8 ．