Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x 2 x∈[t，t+2]，若对任意的，不等式 f(x)≤ 1

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x 2 x∈[t，t+2]，若对任意的，不等式 f(x)≤ 1 2 f(x+t) 恒成立，则实数t的取值范围是______．

Answer 1

当x≥0时，f（x）=x 2 ∵函数是奇函数 ∴当x＜0时，f（x）=-x 2 ∴f（x）= x 2   x≥0 - x 2  x＜0 ， ∴f（x）在R上是单调递增函数， 且满足2f（x）=f（ 2 x）， ∵不等式 1 2 f（x+t）≥f（x）= 1 2 f（ 2 x）在[t，t+2]恒成立， ∴x+t≥ 2 x在[t，t+2]恒成立， 即：x≤（1+ 2 ）t在[t，t+2]恒成立， ∴t+2≤（1+ 2 ）t 解得：t≥ 2 ， 故答案为：[ 2 ，+∞）．