若数列{an}的前n项和为sn,且满足an+2snsn-1=0(n≥2),a1=1(1)求证:{1sn}成等差数列(2)求数列{an}
若数列{an}的前n项和为sn,且满足an+2snsn-1=0(n≥2),a1=1(1)求证:{1sn}成等差数列(2)求数列{an}的通项公式....
若数列{an}的前n项和为sn,且满足an+2snsn-1=0(n≥2),a1=1(1)求证:{1sn}成等差数列(2)求数列{an}的通项公式.
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(1)∵an=sn-sn-1,an+2snsn-1=0(n≥2),
∴sn-sn-1+2snsn-1=0.两边除以snsn-1,并移向得出
?
=2(n≥2),
∴
?
=2(n≥2)
∴{
}是等差数列,公差d=2.
(2)由(1){
}是以
=
=1为首项,以2为公差的等差数列
∴
=1+2(n?1)=2n?1,故sn=
.
∴当n≥2时,an=sn?sn?1=
?
=?
当n=1时,a1=1不符合上式
所以an=
.
∴sn-sn-1+2snsn-1=0.两边除以snsn-1,并移向得出
1 |
sn |
1 |
sn?1 |
∴
1 |
sn |
1 |
sn?1 |
∴{
1 |
sn |
(2)由(1){
1 |
sn |
1 |
s1 |
1 |
a1 |
∴
1 |
sn |
1 |
2n?1 |
∴当n≥2时,an=sn?sn?1=
1 |
2n?1 |
1 |
2n?3 |
2 |
(2n?1)(2n?3) |
当n=1时,a1=1不符合上式
所以an=
|
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