Question

若数列{an}的前n项和为sn，且满足an+2snsn-1=0（n≥2），a1=1（1）求证：{1sn}成等差数列（2）求数列{an}

若数列{an}的前n项和为sn，且满足an+2snsn-1=0（n≥2），a1=1（1）求证：{1sn}成等差数列（2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）∵a_n=s_n-s_n-1，a_n+2s_ns_n-1=0（n≥2），
∴s_n-s_n-1+2s_ns_n-1=0．两边除以s_ns_n-1，并移向得出

1

sn

?

1

sn?1

＝2(n≥2)，
∴

1

sn

?

1

sn?1

＝2(n≥2)
∴{

1

sn

}是等差数列，公差d=2．
（2）由（1）{

1

sn

}是以

1

s1

＝

1

a1

＝1为首项，以2为公差的等差数列
∴

1

sn

＝1+2(n?1)＝2n?1，故sn＝

1

2n?1

．
∴当n≥2时，an＝sn?sn?1＝

1

2n?1

?

1

2n?3

＝?

2

(2n?1)(2n?3)

当n=1时，a₁=1不符合上式
所以an＝

1，n＝1 ? 2 (2n?1)(2n?3) ，n≥2

．