Question

如图，已知⊙ O 的半径为2，弦 BC 的长为 ，点 A 为弦 BC 所对优弧上任意一点（ B ， C 两点除外）. （

如图，已知⊙ O 的半径为2，弦 BC 的长为 ，点 A 为弦 BC 所对优弧上任意一点（ B ， C 两点除外）. （1）求∠ BAC 的度数；（2）求△ ABC 面积的最大值.（参考数据： ， ， .）

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Answer 1

（1） （2）

解：(1)解法一 连接 OB ， OC ，过 O 作 OE ⊥ BC 于点 E .           ∵ OE ⊥ BC ， BC = ， ∴ .  ………………1分 在Rt△ OBE 中， OB =2，∵ ， ∴ , ∴ ， ∴ .      ………………4分 解法二 连接 BO 并延长，交⊙ O 于点 D ，连接 CD . ∵ BD 是直径，∴ BD =4， . 在Rt△ DBC 中， , ∴ ，∴ .………………4分 (2) 解法一 因为△ ABC 的边 BC 的长不变，所以当 BC 边上的高最大时，△ ABC 的面积最大，此时点 A 落在优弧 BC 的中点处.      ………………5分 过 O 作 OE ⊥ BC 于 E ，延长 EO 交⊙ O 于点 A ，则 A 为优弧 BC 的中点.连接 AB ， AC ，则 AB = AC ， .       在Rt△ ABE 中，∵ ， ∴ ， ∴ S △ ABC = . 答：△ ABC 面积的最大值是 .         ………………7分 解法二 因为△ ABC 的边 BC 的长不变，所以当 BC 边上的高最大时，△ ABC 的面积最大，此时点 A 落在优弧 BC 的中点处.   ………………5分 过 O 作 OE ⊥ BC 于 E ，延长 EO 交⊙ O 于点 A ，则 A 为优弧 BC 的中点.连接 AB ， AC ，则 AB = AC . ∵ ,   ∴△ ABC 是等边三角形.        在Rt△ ABE 中，∵ ， ∴ ， ∴ S △ ABC = .                答：△ ABC 面积的最大值是 .      ………………7分 (1) 连接 OB ， OC ，过 O 作 OE ⊥ BC 于点 E .利用三角函数求得 ，再利用圆周角的定理求得∠ BAC 的度数 （2）因为△ ABC 的边 BC 的长不变，所以当 BC 边上的高最大时，△ ABC 的面积最大，此时点 A 落在优弧 BC 的中点处，过 O 作 OE ⊥ BC 于 E ，延长 EO 交⊙ O 于点 A ，则 A 为优弧 BC 的中点.连接 AB ， AC ，则 AB = AC ， 利用三角函数求得AE的长，从而求得△ ABC 面积的最大值