Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0。（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x

已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0。（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx 2 成立，求实数k的最小值；（3）证明： （n∈N*）。

Answer 1

解：（1）函数的定义域为（-a，+∞）， 求导函数可得   令f′（x）=0， 可得x=1-a＞-a 令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a； 令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a ∴x=1-a时，函数取得极小值且为最小值 ∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0， ∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1。 （2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意 当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx 2 ， 即g（x）=x-ln（x+1）-kx 2 求导函数可得g′（x）= g′（x）=0，可得x 1 =0， ①当k≥ 时， ， g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减， 从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0， 即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx 2 成立； ②当0＜k＜ 时， ，对于 ，g′（x）＞0， 因此g（x）在 上单调递增， 因此取 时，g（x 0 ）≥g（0）=0，即有f（x 0 ）≤kx 0 2 不成立； 综上知，k≥ 时对任意的x∈[0，+∞）， 有f（x）≤kx 2 成立，k的最小值为 。 （3）证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立 当n≥2时， 在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x 2 ， ∴ （i≥2，i∈N*） ∴ =f（2）+ ＜2-ln3+ =2-ln3+1- ＜2 综上， （n∈N*）。