Question

已知z为复数，z+2i和 z 2-i 均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai

已知z为复数，z+2i和 z 2-i 均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai） 2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R）， 由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R， ∴b+2=0，即b=-2． 又 z 2-i = (a+bi)(2+i) 5 = 2a-b 5 + 2b+a 5 i∈R ， ∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4-2i， ∵（z+ai） 2 =（4-2i+ai） 2 =[4+（a-2）i] 2 =16-（a-2） 2 +8（a-2）i 对应的点在复平面的第一象限， ∴ 16-(a-2 ) 2 ＞0 8(a-2)＞0 解得a的取值范围为2＜a＜6．