Question

已知函数f(x)= x －ax+(a－1) ， 。（1）讨论函数 的单调性； （2）证明：若 ，...

已知函数f(x)= x －ax+(a－1) ， 。（1）讨论函数 的单调性； （2）证明：若 ，则对任意x ，x ，x x ，有 。

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Answer 1

（1）见解析（2）见解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 （1）先求解定义域，然后对于参数a进行讨论得到单调性的问题。 （2）由于不等式恒成立只要证明是单调增函数即可，因此利用构造函数的思想来证明得到。 解：(1) 的定义域为0 。     2分 （i）若 即 ,则 故 在0 单调增加。        3分 (ii)若 ,而 ,故 ,则当 时， ; 当 及 时， 故 在 单调减少，在 单调增加。    4分 (iii)若 ,即 ,同理可得 在 单调减少，在 单调增加.          6分 (II)考虑函数 则 由于1<a<5,故 ，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当 时有 ，即 ，故4 ，当 时，有 ·········12分