Question

计算曲面积分I=?2xz2dydz+y（z2+1）dzdx+（9-z3）dxdy，其中Σ为曲面z=x2+y2+1（1≤z≤2），取下侧

计算曲面积分I=?2xz2dydz+y（z2+1）dzdx+（9-z3）dxdy，其中Σ为曲面z=x2+y2+1（1≤z≤2），取下侧．

Answer 1

取平面Σ₁：z=2，取上侧．
则Σ与Σ₁构成封闭曲面，取外侧．
令Σ与Σ₁所围空间区域为Ω，由Gauss公式，得          
I=

?

∑+∑1

-

?

∑1

       
=

?

Ω

dxdydz-

?

x2+y2≤1

(9?23)dxdy
=

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

rdr

∫

2 1?r2

dz-

?

x2+y2≤1

dxdy
=-

π

2