Question

（2012?常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E

（2012?常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．

Answer 1

证明：连接CE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE与△COF中，
∵

∠ACB＝∠DAC OA＝OC ∠AOE＝∠COF

，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AE=AF．

另法：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵

∠OAE＝∠OCF OA＝OC ∠AOE＝∠COF

，
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，
∴OE=OF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF．