Question

（2011?相城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，

（2011?相城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+12∠A；②EF是△ABC的中位线；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中正确的结论是______（填序号）．

Answer 1

解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+

1

2

∠A；故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=

1

2

AE?OM+

1

2

AF?OD=

1

2

OD?（AE+AF）=

1

2

mn；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴EB=EO，FO=FC，
∴EF=EO+FO=BE+CF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故④正确．
∴其中正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．