Question

（2012?柳州一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求此抛物

（2012?柳州一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求此抛物线的解析式．（2）点D是该抛物线在第一象限内的一个动点，求当四边形ABDC面积最大时点D的坐标．（3）在（2）的条件下，过点D的直线与过B、C两点的直线平行，证明直线与过A、B、C三点的抛物线只有一个交点．

Answer 1

（1）设所求抛物线为y=a（x-x₁）（x-x₂）
∴该抛物线经过点A（-1，0）、B（4，0）
∴y=a（x-+1）（x-4）
∵抛物线经过点C（0，2）
∴2=-4a
∴a=?

1

2

∴y=?

1

2

x2+

3

2

x+2．

（2）∵点D在抛物线上
∴D（a，?

1

2

a2+

3

2

a+2）
过点D作DE⊥X轴，交BC于点F
∵过BC的直线为y=?

1

2

x+2
∴F(a，?

1

2

a+2)
∴DF=?

1

2

a2+

3

2

a+2+

1

2

a?2＝?

1

2

a2+2a
∴S_{四边形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD=

1

2

×2×5+

1

2

×4×(?

1

2

a2+2a)＝?a2+4a+5
∴当a=2时，S最大值等于9
∴D（2，3）．

（3）∵过点D的直线l∥BC交y轴于点G
∵四边形CFDG是平行四边形
∴DF=CG=2
∴G（0，4）
∴直线：y=?

1

2

x+4
∴?

1

2

x+4=?

1

2

x2+

3

2

x+2
∴x²-4x+4=0
∴△=16-16=0
∴直线与抛物线只有一个交点．