Question

函数f（x）=ax-ax-2lnx（a∈R） （Ⅰ）当a=12时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞2ee2+1，若m，n分别为f

函数f（x）=ax-ax-2lnx（a∈R） （Ⅰ）当a=12时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞2ee2+1，若m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若S=m-n，求S取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2?2x+a

x2

（x＞0），
a=

1

2

时，f′（x）=

x2?4x+1

2x2

，
f′（x）＞0，得x＞2+

3

或0＜x＜2-

3

；f′（x）＜0，得2-

3

＜x＜2+

3

．
则f（x）的单调增区间为（0，2-

3

），（2+

3

，+∞），单调减区间为（2-

3

，2+

3

）．
（Ⅱ）由△＞0得4-4a²＞0，即-1＜a＜1且

2e

1+e2

＜a＜1，得

2e

1+e2

＜a＜1，
此时设f′（x）=0的两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），所以m=f（x₁），n=f（x₂），
因为x₁x₂=1，所以x₁＜1＜x₂，
由

2e

1+e2

＜a＜1，且ax₁²-2x₁+a=0，得

1

e

＜x₁＜1，
所以S=m-n=ax₁-

a

x1

-2lnx₁-（ax₂-

a

x2

-2lnx₂）=ax₁-

a

x1

-2lnx₁-（

a

x1

-ax₁+2lnx₁）
=2（ax₁-

a

x1

-2lnx₁）
由ax₁²-2x₁+a=0得a=

2x1

1+x12

，代入上式得，
S=4（

x12?1

x12+1

-lnx₁）=4（

x12?1

x12+1

-

1

2

lnx₁²）
令x₁²=t，所以

1

e2

＜t＜1，g（x）=

x?1

x+1

-

1

2

lnx，则S=4g（t），
g′（t）=

?(x?1)2

2x(x+1)2

＜0，所以g（x）在[

1

e2

，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（

1

e2

），
即0＜g（t）＜

2

1+e2

，所以0＜S＜

8

1+e2

．