Question

已知数列{a n}的前n项和为Sn，且向量a＝(n，Sn)，b＝(4，n+3)共线．（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；（

已知数列{a n}的前n项和为Sn，且向量a＝(n，Sn)，b＝(4，n+3)共线．（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）求数列{1nan}的前n项和Tn．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）证明∵

a

=（n，S_n），

b

=（4，n+3）共线，
∴n（n+3）-4S_n=0，
∴S_n=

n(n+3)

4

，
∴a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n+1

2

，
又a₁=1满足此式，
∴a_n=

n+1

2

；                                     
∴a_n+1-a_n=

1

2

为常数，
∴数列{a_n}为首项为1，公差为

1

2

的等差数列．
（Ⅱ）∵

1

nan

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

1

a1

+

1

2a2

+…+

1

nan

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）．
=

2n

n+1

．