Question

如图，△ACD、△ABE、△BCF均为△ABC的边BC所在直线同侧的等边三角形．（1）求证：四边形ADFE为平行四边

如图，△ACD、△ABE、△BCF均为△ABC的边BC所在直线同侧的等边三角形．（1）求证：四边形ADFE为平行四边形；（2）试探究顺次连接A、D、F、E四点还可构成其它什么图形？根据构成图形的类型直接写出△ABC应满足相应的条件．①当______时，A、D、F、E四点构成菱形．②当______时，A、D、F、E四点构成正方形．③当______时，A、D、F、E四点构成一条线段．

Answer 1

解答：（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．
∴∠FBE=∠CBA，
在△FBE和△CBA中，

BF＝BC ∠FBE＝∠CBA EB＝AB

，
∴△FBE≌△CBA（SAS）．
∴EF=AC．
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC．
∴EF=AD．
同理可得AE=DF．
∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）①当图形为菱形时，AE=AD，则AB=AC，且∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）；
②当图形为正方形时，AE=AD、∠EAD=90°，则AB=AC，∠BAC=150°；
③当图形为线段时，AB=AC，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）；
故答案是：AB=AC，且∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）；AB=AC，∠BAC=150°；AB=AC，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．