Question

如图，在△ABC中，AB=AC， （1）若P是BC边上的中点，连结AP，求证：BP×CP=AB 2 一AP 2 ；（2）若P是BC

如图，在△ABC中，AB=AC， （1）若P是BC边上的中点，连结AP，求证：BP×CP=AB 2 一AP 2 ；（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗?若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请证明你的结论？

Answer 1

（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB 2 =BP 2 +AP 2 ，即AB 2 -AP 2 =BP 2 ，而BP=CP，易得BP?CP=BP 2 ，那么此题得证；（2）成立；（3）AP 2 -AB 2 =BP?CP．

试题分析：（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB 2 =BP 2 +AP 2 ，即AB 2 -AP 2 =BP 2 ，而BP=CP，易得BP?CP=BP 2 ，那么此题得证； （2）成立．连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三线合一定理，可知BD=CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB 2 =AD 2 +BD 2 ，同理有AP 2 =AD 2 +DP 2 ，易求AB 2 -AP 2 的差，而BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，易求BP?CP，从而可证AB 2 -AP 2 =BP?CP； （3）AP 2 -AB 2 =BP?CP．连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三线合一定理可知 BC=CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分别表示AP 2 、AB 2 ，而BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD， 易求BP?CP的值，从而可证AP 2 -AB 2 =BP?CP． （1）连接AP ∵AB=AC，P是BC中点， ∴AP⊥BC，BP=CP，  在Rt△ABP中，AB 2 =BP 2 +AP 2 ， ∴AB 2 -AP 2 =BP 2 ， 又∵BP=CP， ∴BP?CP=BP 2 ， ∴AB 2 -AP 2 =BP?CP； （2）成立． 如右图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，  在Rt△ABD中，AB 2 =AD 2 +BD 2 ， 同理，AP 2 =AD 2 +DP 2 ， ∴AB 2 -AP 2 =AD 2 +BD 2 -（AD 2 +DP 2 ）=BD 2 -DP 2 ， 又∵BP=BD+DP，CP=CD-DP=BD-DP， ∴BP?CP=（BD+DP）（BD-DP）=BD 2 -DP 2 ， ∴AB 2 -AP 2 =BP?CP； （3）AP 2 -AB 2 =BP?CP． 如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD， 在Rt△ABD中，AB 2 =AD 2 +BD 2 ， 在Rt△ADP中，AP 2 =AD 2 +DP 2 ， ∴AP 2 -AB 2 =（AD 2 +BD 2 ）-（AD 2 +DP 2 ）=PD 2 -BD 2 ， 又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD， ∴BP?CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP 2 -BD 2 ， ∴AP 2 -AB 2 =BP?CP． 点评：本题综合性强，难度较大，用BD、DP的和差来表示BP和CP是解题的关键.