Question

是否存在常数a、b、c使等式1 2 +2 2 +3 2 +…n 2 +（n﹣1） 2 +…2 1 +1 2 =a n （b n 2 +c）对于一切n

是否存在常数a、b、c使等式1 2 +2 2 +3 2 +…n 2 +（n﹣1） 2 +…2 1 +1 2 =a n （b n 2 +c）对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：假设存在a、b、c使1 2 +2 2 +3 2 +…n 2 +（n﹣1） 2 +…2 1 +1 2 =a n （b n 2 +c）对于一切n∈N*都成立．当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，2a（4b+c）=6；当n=3时，3a（9b+c）=19． 解方程组 ，解得 证明如下： ①当n=1时，由以上知存在常数a、b、c使等式成立． ②假设n=k（k∈N*）时等式成立， 即1 2 +2 2 +3 2 +…k 2 +（k﹣1） 2 +…2 1 +1 2 =a k （b k 2 +c）= ； 当n=k+1时，1 2 +2 2 +3 2 +…（k+1） 2 +k 2 +…2 1 +1 2 =ak（bk 2 +c） = +（k+1） 2 +k 2 = ； 即n=k+1时，等式成立． 因此存在 ，使等式对一切n∈N*都成立．