Question

已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足 sinB+sinC sinA = 2-cosB-cosC cosA

已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足 sinB+sinC sinA = 2-cosB-cosC cosA ，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间 [0， π 3 ] 上单调递增，在区间 [ π 3 ， 2π 3 ] 上单调递减．（Ⅰ）证明：b+c=2a；（Ⅱ）若 f( π 9 )=cosA ，证明：△ABC为等边三角形．

Answer 1

（本小题满分12分） （Ⅰ）∵ sinB+sinC sinA = 2-cosB-cosC cosA ∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA ∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA =2sinAsin（A+B）+sin（A+C） =2sinA…（3分） sinC+sinB=2sinA…（5分） 所以b+c=2a…（6分） （Ⅱ）由题意知：由题意知： 2π ω = 4π 3 ，解得： ω= 3 2 ，…（8分） 因为 f( π 9 )=sin π 6 = 1 2 =cosA ，A∈（0，π），所以 A= π 3 …（9分） 由余弦定理知： cosA= b 2 + c 2 - a 2 2bc = 1 2 …（10分） 所以b 2 +c 2 -a 2 =bc因为b+c=2a，所以 b 2 + c 2 -( b+c 2 ) 2 =bc ， 即：b 2 +c 2 -2bc=0所以b=c…（11分） 又 A= π 3 ，所以△ABC为等边三角形．…（12分）