已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率 e= 3 2 ,且点P(-2,0)在椭
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=32,且点P(-2,0)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知A、B为椭圆C上的动点,当PA⊥PB时,求证:直线...
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率 e= 3 2 ,且点P(-2,0)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知A、B为椭圆C上的动点,当PA⊥PB时,求证:直线AB恒过一个定点.并求出该定点的坐标.
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(1)设椭圆的方程为: + =1(a>b>0) , 由题意得 = ,a=2,所以c= , 又b 2 =a 2 -c 2 =1, 所以椭圆的方程为: + y 2 =1 ; (2)①当直线l不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m,A(x 1 ,y 1 )B(x 2 ,y 2 ), 由 ,得(1+4k 2 )x 2 +8kmx+4(m 2 -1)=0, x 1 + x 2 =- , x 1 x 2 = , ? =( x ^ +2)( x 2 +2)+ y 1 y 2 =(1+ k 2 ) x 1 x 2 +(2+km)( x 1 + x 2 )+ m 2 +4 = (1+ k 2 ) +(2+km) + m 2 +4=0 , ∴12k 2 +5m 2 -16km=0,即(6k-5m)(2k-m)=0,解得 m= k或m=2k , 当 m= k 时, AB:y=kx+ k 恒过定点 (- ,0) ; 当m=2k时,AB:y=kx+2k恒过定点(-2,0),不符合题意舍去; ②当直线l垂直于x轴时,直线AB: x=- ,则AB与椭圆C相交于 A(- ,- ) , B(- , ) , ∴ ? =( ,- )?( , )=( ) 2 +(- )( )=0 ,∵PA⊥PB,满足题意, 综上可知,直线AB恒过定点,且定点坐标为 (- ,0) . |
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