已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率 e= 3 2 ,且点P(-2,0)在椭

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=32,且点P(-2,0)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知A、B为椭圆C上的动点,当PA⊥PB时,求证:直线... 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率 e= 3 2 ,且点P(-2,0)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知A、B为椭圆C上的动点,当PA⊥PB时,求证:直线AB恒过一个定点.并求出该定点的坐标. 展开
 我来答
爱火火救火车1092
推荐于2016-12-01 · TA获得超过114个赞
知道答主
回答量:135
采纳率:0%
帮助的人:205万
展开全部
(1)设椭圆的方程为:
x 2
a 2
+
y 2
b 2
=1(a>b>0)

由题意得
c
a
=
3
2
,a=2,所以c=
3

又b 2 =a 2 -c 2 =1,
所以椭圆的方程为:
x 2
4
+ y 2 =1

(2)①当直线l不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m,A(x 1 ,y 1 )B(x 2 ,y 2 ),
x 2 +4 y 2 =4
y=kx+m
,得(1+4k 2 )x 2 +8kmx+4(m 2 -1)=0, x 1 + x 2 =-
8km
1+4 k 2
x 1 x 2 =
4( m 2 -1)
1+4 k 2

PA
?
PB
=( x ^ +2)( x 2 +2)+ y 1 y 2 =(1+ k 2 ) x 1 x 2 +(2+km)( x 1 + x 2 )+ m 2 +4
= (1+ k 2 )
4( m 2 -1)
1+4 k 2
+(2+km)
-8km
1+4 k 2
+ m 2 +4=0

∴12k 2 +5m 2 -16km=0,即(6k-5m)(2k-m)=0,解得 m=
6
5
k或m=2k

m=
6
5
k
时, AB:y=kx+
6
5
k
恒过定点 (-
6
5
,0)

当m=2k时,AB:y=kx+2k恒过定点(-2,0),不符合题意舍去;
②当直线l垂直于x轴时,直线AB: x=-
6
5
,则AB与椭圆C相交于 A(-
6
5
,-
4
5
)
B(-
6
5
4
5
)

PA
?
PB
=(
4
5
,-
4
5
)?(
4
5
4
5
)=(
4
5
) 2 +(-
4
5
)(
4
5
)=0
,∵PA⊥PB,满足题意,
综上可知,直线AB恒过定点,且定点坐标为 (-
6
5
,0)
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式