Question

复变函数 求留数

Answer 1

用二阶留数公式来算即可
Res(2kπi)=lim(z->2kπi) (d/dz)【(z-2kπi)^2/(e^z-1)^2】

然后算(d/dz)【(z-2kπi)^2/(e^z-1)^2】，
这个导数求的时候，要注意方法。
因为(z-2kπi)^2/(e^z-1)^2=[(z-2kπi)/(e^z-1)]^2
设u=(z-2kπi)/(e^z-1)
那么(d/dz)【(z-2kπi)^2/(e^z-1)^2】=d(u^2)/dz=2u(u'z)
然后直接对u求导带入即可，

然后求2u(u'z)极限的时候，因为lim(z->2kπi) u=1
用罗比达法则求u'z的极限即可，求出来极限为-1/2
所以Res(2kπi)=lim(z->2kπi) 2u(u'z)= -1
可以大大简化计算量

Answer 2

先求出使得分母为0的z的值；
确定出极点，再判断出其阶数为2；
再利用留数公式即可。

追问

2kπi为二阶级点，用m阶级点公式求不出来，我只能算出是无究大。
展开为罗朗级数也不得法！