Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证

如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG；（2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论；（3）试探究，若∠B=60°时，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形AECG是正方形（直接写出结果）．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．
∴BE=DG；

（2）解：当BC=

3

2

AB时，四边形ABFG是菱形．
证明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形．
∵Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=

1

2

AB（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），
∵BE=CF，BC=

3

2

AB，
∴EF=

1

2

AB．
∴AB=BF．
∴四边形ABFG是菱形；

（3）解：BC=

3 +1

2

AB时，四边形AECG是正方形．
∵AE⊥BC，GC⊥CB，
∴AE∥GC，∠AEC=90°，
∵AG∥CE，
∴四边形AECG是矩形，
当AE=EC时，矩形AECG是正方形，
∵∠B=60°，
∴EC=AE=AB?sin60°=

3

2

AB，BE=

1

2

AB，
∴BC=

3 +1

2

AB．