Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．（1）如图①，若点E，F分别在边AB，AC上，且AE=C

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．（1）如图①，若点E，F分别在边AB，AC上，且AE=CF，连接DE，DF，EF，观察，猜想△DEF是否为等腰直角三角形，并证明你的猜想．（2）如图②，若点E，F分别在边AB，CA的延长线上，且AE=CF，连接DE，DF，EF，那么（1）中所得到的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明你的理由．

Answer 1

解：（1）△DEF为等腰直角三角形．
证明如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D是斜边BC的中点，
∴AD是BC边上的中线．
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×90°=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=∠C
∴DA=DC，
在△ADE和△CDF中

AE＝CF ∠BAD＝∠C AD＝CD

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；

（2）成立．
证明如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D是斜边BC的中点，
∴AD是BC边上的中线．
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×90°=45°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD=∠C，
∴DA=DC，
在△ADE和△CDF中

AE＝CF ∠BAD＝∠C AD＝CD

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADB=90°
∴△DEF为等腰直角三角形．