Question

已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx（1）若曲线h（x）=f（x）+ax2-ex（a∈R）在点（1，h（1））处的切线垂直

已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx（1）若曲线h（x）=f（x）+ax2-ex（a∈R）在点（1，h（1））处的切线垂直于y轴，求函数h（x）的单调区间；（2）若函数F(x)=1-ax-g(x) (a∈R)在区间（0，2）上无极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵h（x）=f（x）+ax²-ex=e^x+ax²-ex
∴h^′（x）=e^x+2ax-e，
又∵曲线h（x）在点（1，h（1））处的切线垂直于y轴
∴k=h^′（1）=2a，
由k=2a=0得a=0，
∴h（x）=e^x-ex∴h^′（x）=e^x-e，
令h^′（x）=e^x-e＞0得x＞1，
令h^′（x）=e^x-e＜0得x＜1，
∴故h（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（-∞，1）．
（2）∵F(x)=1-

a

x

-g(x)=1-

a

x

-lnx(x＞0)
∴F′(x)=

a

x2

-

1

x

=

a-x

x2

①当a≤0时，在区间（0，2）上F′(x)=

a-x

x2

＜0恒成立，即函数F（x）在区间（0，2）上单调递减，故函数F（x）在区间（0，2）上无极值； 
②当a＞0时，令F′(x)=

a-x

x2

=0得：x=a，
当x变化时，F^′（x）和F（x）的变化情况如下表

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	单调递增↗	极大值	单调递减↘

∴函数F（x）在x=a处有极大值，
∴要使函数F（x）在区间（0，2）上无极值，只需a≥2，
综上①②所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪[2，+∞）．