Question

如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．下面的证法

如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．下面的证法供你参考：把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞2AD．（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．创新应用：（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC=180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．

Answer 1

解：（1）证明：把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接ED
则有△ACD≌△ABE，
DC=EB
∵AD=AE，∠DAE=90°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴DE=

2

AD
在△DBE中，BD+EB＞DE，
即：BD+DC＞

2

AD；

（2）把△ABD旋转，使AB与AC重合，然后绕AC旋转，得到△ACD′，
则BD=CD′，
在△CDD′中，CD+CD′＞DD′，
即BD+CD＞DD′，
∵△ADD′是钝角三角形，则DD′＞

2

AD
当D运动到B的位置时，DD′=BC=

2

AD．
∴BD+DC≥

2

AD；

（3）猜想1：BD+DC＜2AD
证明：把△ACD绕点A顺时针旋转α，得到△ABE则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∠ACD=∠ABE
∵∠BAC+∠BDC=180°
∴∠ABD+∠ACD=180°
∴∠ABD+∠ABE=180°
即：E、B、D三点共线．
∵AD=AE，
∴在△ADE中，AE+AD＞ED，即BD+DC＜2AD．