Question

已知函数f(x)＝2sin2(π4+x)?3cos2x?1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若对?x∈[π4，π2]

已知函数f(x)＝2sin2(π4+x)?3cos2x?1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若对?x∈[π4，π2]，不等式f（x）＞m-3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f(x)＝2sin2(

π

4

+x)?

3

cos2x?1=1?cos(

π

2

+2x)?

3

cos2x?1
=sin2x?

3

cos2x＝2sin(3x?

π

3

)，…（3分）
∴函数f（x）的最小正周期T＝

2π

2

＝π．…（5分）
（2）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，∴f（x）_min=1．…（7分）
要使不等式f（x）＞m-3恒成立，故只需 1＞m-3，
解得m＜4，…（9分） 
即m的取值范围为（-∞，4）．…（10分）