Question

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果A

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

Answer 1

（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，

BD＝CD DE＝DF

，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；

（2）解：在△AED和△AFD中，

∠AED＝∠AFD＝90° ∠EAD＝∠FAD AD＝AD

，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB-BE，AF=AC+CF，
∴5-x=3+x，
解得：x=1，
∴BE=1，AE=AB-BE=5-1=4．