Question

已知函数f（x）=x2+ax+3，g（x）=（6+a）?2x-1．（Ⅰ）若f（1）=f（3），求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的

已知函数f（x）=x2+ax+3，g（x）=（6+a）?2x-1．（Ⅰ）若f（1）=f（3），求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，判断函数F（x）=21+g(x)的单调性，并用定义给出证明；（Ⅲ）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a（a∈（-∞，-4）∪[4，+∞））恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（1）=f（3），∴函数f（x）图象的对称轴方程为x=2；
∴?

a

2

＝2，∴a=-4；
（Ⅱ）F(x)＝

2

1+g(x)

＝

2

1+(6?4)?2x?1

＝

2

1+2x

；
x增大时，y减小，所以F（x）是R上的减函数；
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
F（x₁）-F（x₂）=

2

1+2x1

?

2

1+2x2

＝

2(2x2?2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

；
∵x₁＜x₂，∴2x2?2x1＞0；
∴F（x₁）＞F（x₂）；
所以函数F（x）是R上的减函数；
（Ⅲ）函数f（x）的对称轴是x=-

a

2

，当a＜-4时，?

a

2

＞2，∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减；
∴f（x）的最小值f（2）=7+2a≥a，∴a≥-7；
当a＞4时，-

a

2

＜?2，∴函数f（x）在[-2，2]上单调递增；
∴f（x）的最小值f（-2）=7-2a≥a，∴a≤

7

3

与a＞4，所以这种情况不存在；
∴a的最小值为-7．