Question

已知数列{an}是等比数列，且an＞0，若bn=log2an，则（　　）A．{bn}一定是递增的等差数列B．{bn}不可能是

已知数列{an}是等比数列，且an＞0，若bn=log2an，则（　　）A．{bn}一定是递增的等差数列B．{bn}不可能是等比数列C．{2b2n-1+1}是等差数列D．{3bn}不是等比数列

Answer 1

设正项等比数列{ a_n }的公比为q（q＞0），
则a_n=a₁q^n-1．
∴b_n=log₂ a_n=log₂a₁+（n-1）log₂q．
∴数列{b_n}是以log₂a₁为首项，以log₂q为公差的等差数列．
∵当0＜q＜1时，公差log₂q＜0，是递减数列，∴A错误；
∵当q=1时，公差为0，数列为常数列，此时数列{b_n}也是等比数列，∴B错误；
根据等差数列的性质，数列{b_n}是等差数列，则{b_2n-1}是等差数列，{2b_2n-1+1}是等差数列，故C正确．
∵数列{b_n}是等差数列，
∴

3bn+1

3bn

=3bn+1?bn=3log2q为常数，∴{3bn}是等比数列，故D错误．
故选C．