Question

设函数f：R→R，满足f（0）=1，且对任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2，则f（x）=____

设函数f：R→R，满足f（0）=1，且对任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2，则f（x）=______．

Answer 1

令x=y=0，得，f（1）=1-1-0+2，
所以f（1）=2．
令y=1，得f（x+1）=2f（x）-2-x+2，
即f（x+1）=2f（x）-x．①
又f（yx+1）=f（y）f（x）-f（x）-y+2，
令y=1代入，得f（x+1）=2f（x）-f（x）-1+2，
即f（x+1）=f（x）+1．②
联立①、②得：f（x）=x+1
故答案为f（x）=x+1．